Yulian Sari
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Riau Kepulauan
ABSTRAK
Artikel ini mengkaji solusi atau penyelesaian sistem persamaan differensial linier homogen orde satu
(1)
dimana yaitu agar selalu bernilai nonnegatif. Untuk sistem (1) dengan , jika matriks A adalah eksponensial positif eventual, maka solusi untuk sistem tersebut dinamakan sebagai solusi positif eventual. Sifat-sifat agar matriks adalah matriks eksponensial positif eventual digunakan dalam pembahasan. Artikel ini merupakan kajian kembali tentang syarat cukup dan menambahkan hasil analisis tentang syarat perlu agar solusi adalah solusi positif eventual dengan adalah adalah matriks positif eventual untuk suatu .
Kata Kunci : solusi positif eventual, matrik eksponensial positif eventual, differensial linier homogen orde satu.
- 1. Latar Belakang
Diberikan suatu sistem persamaan diferensial linier homogen orde satu sebagai berikut.
(1)
dimana dan . Dalam literatur [2] dinyatakan bahwa solusi sistem (1) adalah
. (2)
Perlu diperhatikan bahwa solusi (2) dapat bernilai nonnegatif atau negatif. Salah satu cara agar bernilai nonnegatif adalah dan . Dalam situasi tertentu, tidak selalu positif untuk setiap . Matriks yang mempunyai sifat ada sedemikian sehingga disebut sebagai matriks eksponensial positif eventual [2]. Untuk sistem (1) dengan , jika matriks A adalah eksponensial positif eventual, maka solusi untuk sistem tersebut dinamakan sebagai solusi positif eventual [3].
Syarat cukup bagi solusi sistem (1) adalah solusi positif eventual telah dikaji dalam [1]. Tulisan ini memaparkan kembali syarat cukup tersebut dan menambahkan syarat perlu agar solusi sistem (1) adalah solusi positif eventual.
- 2. Notasi dan Definisi
Definisi 1. [1] Untuk sebarang matriks ,
didefinisikan sebagai matriks eksponensial dari A, dimana , dan adalah matriks identitas.